Une suite particulière - Corrigé

Énoncé

On considère la suite \((u_n)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par \(u_0=2\) et, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) , \(u_{n+1}=u_n+3\) .

1. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\) , pour tout \(n \in \mathbb{N}\) .

2. Soit \(n \in \mathbb{N}\) . Déterminer un couple d'entiers \((u;v) \in \mathbb{Z}^2\) tel que \(au_n+bu_{n+1}=1\) .

3. Que peut-on en déduire ?

Solution

1. La suite \((u_n)\) est une suite arithmétique de raison \(r=3\) et de terme initial \(u_0=2\) . On a donc, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) , \(u_n=u_0+rn=2+3n\) c'est-à-dire \(u_n=3n+2\) .

2. Soit \(n \in \mathbb{N}\) . On a \(u_n=3n+2\) et \(u_{n+1}=3(n+1)+2=3n+5\) . On utilise la méthode de « remontée » de l'algorithme d'Euclide :
\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline a&b&q&r\\ \hline 3n+5& 3n+2& 1& 3\\ \hline 3n+2& 3& n& 2\\ \hline 3& 2& 1& 1\\ \hline 2& 1& 2& 0\\ \hline\end{array} \begin{array}{ll}\ & \\ \times (n+1)& \text{suppression du reste } 3\\ \times (-1)& \text{suppression du reste } 2\\ \times 1& \text{conservation du PGCD}\\ & \end{array}\end{align*}\)   

En additionnant les lignes après avoir éliminé les restes intermédiaires, on obtient :
\(\begin{align*}& (3n+5)(n+1)+(3n+2) \times -1=(3n+2)(n+1)+1\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ (-n-2)(3n+2)+(n+1)(3n+5)=1\end{align*}\)    
autrement dit  \(au_n+bu_{n+1}=1\) avec \(a=-n-2\) et \(b=n+1\) .

3. D'après le théorème de Bézout, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) , les entiers \(u_n\) et \(u_{n+1}\) sont premiers entre eux.

Remarque

À la question 2., on a utilisé la méthode de remontée de l'algorithme d'Euclide pour déterminer le couple d'entiers \((u;v)\) , mais le tableau ne correspond pas à l'algorithme d'Euclide lorsque  \(n=0\) .